标签： 自动机

 

本文只关系到 有穷状态自动机 ，本文也不讲具体的算法，只讲一些基本概念，以及用本软件的自动机 能做什么 ， 怎么用

也有其他一些开源软件实现了本软件的部分功能，但总体上，不论是从功能还是性能（运行速度，内存用量）上考虑，到目前为止，我能找到的其它所有同类开源软件都完全无法与本软件竞争！欢迎大家一起交流！

自动机是什么

关于自动机的形式化定义，可以参考 wikipedia：

• 自动机

• 自动机是一个可以自己运行的机器或机器人

有穷状态自动机 (FSA)

• 有限状态机（FSM）或有限状态自动机、或只是一个状态机，是用于设计计算机程序和时序逻辑电路的数学计算模型。

确定性的有穷自动机 (DFA)

• 这是本文的重点

非确定性的有穷自动机 (NFA)

• 很多 DFA 的构造需要 NFA 作为媒介

DFA 的最小化

• DFA 的等同
  • 如果两个dfa的状态转移图同构，那么这两个 DFA 等同
• DFA 的等价
  • 如果两个 DFA 能接受的语言集合相同，那么这两个 DFA 等价
  • 等价的 DFA 不一定等同
• 最小化的 DFA
  • 对于任何一个 DFA，存在唯一一个与该 DFA 等价的 MinDFA，该 MinDFA 的状态数是与原 DFA 等价的所有 DFA 中状态数最小的
  • 最小化的 DFA 需要的内存更小
  • 各种优化的 DFA 最小化算法是本软件的核心竞争力之一

将 DFA 用做字典

什么是字典

字典，有时候也叫关联数组，可以认为就是一个 map<string, Value>，这是最简单直接的表达，在 C++ 标准库中，map是用 RBTree 实现的，当然，也可以用 hash_map(或称为 unordered_map)。这些字典在标准库中都有，不是特别追求cpu和内存效率的话，可以直接拿来时使用。

但是，要知道，对于一般应用，将字典文件（假定是文本文件）加载到 map/hash_map 之后，内存占用量要比字典文件大两三倍。当数据源很大时，是不可接受的，虽然在现在这年代，几G可能都算不上很大，但是，如果再乘以3，可能就是十几二十G了，姑且不论数据加载产生的载入延迟（可能得几十分钟甚至一两个小时）。

用 DFA 存储字典，在很多专门的领域中是一个标准做法，例如很多分词库都用 DoubleArray Trie DFA 存储词库，语音识别软件一般也用 DFA 来存储语音。

无环DFA (ADFA, Acyclic DFA)

用做字典的 DFA 是无环DFA (ADFA, Acyclic DFA)，ADFA 的状态转移图是 DAG(有向无环图)。Trie 是一种最简单的 ADFA，同时也是（所有ADFA等价类中）最大的 ADFA。DoubleArray Trie 虽然广为人知，但相比 MinADFA，内存消耗要大得多。

ADFA 可接受的语言是有限集合，从乔姆斯基语言分类的角度，是4型语言（General的NFA和DFA是3型语言）。当然，有限，只是有限而已，但这个集合可能非常大，一个很小的ADFA也能表达非常大的字符串集合，用正则表达式举例: [a-z]{9} ，这个正则表达式对应的DFA包含10个状态，除终止状态外，其他每个状态都有26个转移(图的边)，这个语言集合的大小是 26⁹ = 5,429,503,678,976：从 aaaaaaaaa 一直到 zzzzzzzzz。想象一下，用 HashMap 或者 TreeMap，或者 DoubleArray Trie 来表达该集合的话，将是多么恐怖！

编译

目前，要编译 febird 中的自动机库，需要 C++11 编译器，推荐 gcc4.7 以上版本

$ svn checkout http://febird.googlecode.com/svn/trunk/ febird-read-only
$ cd febird-read-only
$ make
$
$ cd tools/automata/
$ make
$ ll rls/*.exe # 后面会讲到详细用法
-rwxrwxrwx 1 root root 27520456  8月 17 14:34 rls/adfa_build.exe*
-rwxrwxrwx 1 root root 12265256  8月 17 14:34 rls/adfa_unzip.exe*
-rwxrwxrwx 1 root root 16994384  8月 17 14:34 rls/dawg_build.exe*
$
$ cd netbeans-cygwin/automata/
$ make
$ ll rls/*/*.exe # 这两个 exe 用来测试自动机生成的 (key,val) 二进制数据文件
-rwxrwxr-x 1 user user  9050159 2013-08-08 16:26 rls/forward_match/on_key_value.exe
-rwxrwxr-x 1 user user  8994311 2013-08-08 16:26 rls/forward_match/on_suffix_of.exe

map 与 set

传统上，ADFA 只能用作 set<Key> ，也就是字符串的集合。但是，本软件可以把 ADFA 用作 map<Key, Value>，通过两种方式可以达到这个目标：

• map1: 扩展 ADFA（从而 DFA 的尺寸会大一点），查找 key 时，同时计算出一个整数 index，该 index 取值范围是 [0, n)，n 是 map.size()。从而，应用程序可以在外部存储一个大小为 n 的数组，用该 index 去数组直接访问 value。
  • 本软件中有一个 utility 类用来简化这个流程
  • 本质上，这种方法无法动态插入 (key,val)；但可以追加 (key,val)，追加的意思是说，前一个加入的 key，按字典序必须小于后一个加入的 key
• map2: 将 Value 编码成 string 形式，然后再生成一个新的 string kv = key + '\t' + value，将 kv 加入 ADFA，在这种情况下，同一个 key 可以有多个 value，相当于 std::multimap<string, Value>，这种方法的妙处在于，如果多个key对应的value相同，这些value就被自动机压缩成一份了！
  • 这种方法可以动态插入、删除 (key,val)，不过，要支持动态插入、删除功能，需要大约4~5倍的额外内存
  • 更进一步，这种方法可以扩展到允许 key 是一个正则表达式！（目前还不支持）

内存用量/查询性能

本软件实现了两种 DFA，一种为运行速度优化，另一种为内存用量优化，前者一般比后者快4~6倍，后者一般比前者节省内存30~40%，具体使用哪一种，由使用者做权衡决策。

不同的数据，DFA有不同的压缩率。 对于典型的应用，为内存优化的DFA，压缩率一般在3倍到20之间，相比RBTree/HashMap的膨胀3倍，内存节省就有9倍到60倍！同时仍然可以保持极高的查询速度（keylen=16字节，QPS 在 40万到60万之间），为速度优化的版本，QPS 有 250万。下面是几个性能数据（map指map1，为了对齐，在一些数字前面补了0）：

	size(bytes)	gzip	DFA(small+slow)	DFA(big+fast)	KeyLen	QPS(big+fast)	DFA Build time
File1(Query)	226,433,393	96,293,588	map:101,125,415 set:073,122,182	170,139,298	016.7	24,000,000	47’seconds
File2(URL)	485,968,345	25,094,568	map:13,990,737 set:10,850,052	035,548,376	109.2	00,900,000	16’seconds

URL文件的冗余比较大，虽然文件尺寸大一倍多，但最终的dfa文件却要小得多，创建dfa用的时间也少得多！dfa文件的加载速度非常快，相当于整个文件读取，如果文件已在缓冲区，则相当于memcpy。

警告： 如果key中包含有随机串，例如 guid、md5 等，会大大增加自动机的内存用量！不要自作聪明把自然的串转化成 md5 等 hash 串再插入自动机！

自动机实用程序

本软件包含几个程序，用来从文本文件生成自动机，生成的自动机可以用C++接口访问，这样，就将自动机的存储与业务逻辑完全分离。

• adfa_build.exe options < input_text_file

输入文件的格式是： key \t value， \t 是 key, value 的分隔符，\t 也可以是其它字符，只要该分隔符不在 key 中出现即可，value 中则可以包含分隔符。该程序本质上不管每行的的内容是什么，只是忠实地将每行文本加入自动机。分隔符的作用体现在后面将要提到的 api: DFA_Interface::match_key 中。

||

options	arguments	comments
-o	输出文件：为 尺寸 优化的自动机	匹配速度较慢，尺寸较小，所以是小写o
-O	输出文件：为 速度 优化的自动机	匹配速度很快，尺寸较大，所以是大写O
-l	状态字节：为 尺寸 优化的自动机，可取值 4,5,6,7	自动机的每个状态占几个字节，越大的数字表示自动机能支持的最大状态数也越大，一般5就可以满足大多数需求了
-b	状态字节：为 速度 优化的自动机，可取值 4,5,6,7
-t	无参数	输出文本，仅用于测试
-c	无参数	检查自动机正确性，仅用于测试

• dawg_build.exe options < input_text_file

生成扩展的 DFA，可以计算 key 的 index 号(字典序号)，对应 map 的第一种实现方式(map1)，使用方法同 adfa_build.exe ，输入文件的每行是一个 Key。

• adfa_unzip.exe < dfa_binary_file

解压 dfa_binary_file，按字典序将创建自动计时的输入文件 input_text_file 的每行写到标准输出 stdout ，可以接受基本 dfa(由 adfa_build.exe 生成的)文件 和扩展dfa(由 dawg_build.exe 生成的)文件

• on_suffix_of.exe P₁ P₂ … < dfa_binary_file

打印所有前缀为 P_n 的行 (adfa_build.exe 或 dawg_build.exe 输入文本的行) 的后缀

• on_key_value.exe text₁ text₂ … < dfa_binary_file

打印匹配所有 text_n 的前缀的 Key (adfa_build.exe 或 dawg_build.exe 输入文本的行) 的 value， 用于测试 map 实现方法2 (Key Value 之间加分隔符)

自动机的 C++接口

本软件使用了 C++11 中的新特性，所以必须使用支持 C++11 的编译器，目前测试过的编译器有 gcc4.7 和 clang3.1。不过为了兼容，我提供了C++98 的接口，一旦编译出了静态库/动态库，C++11 就不再是必需的了。

#include <febird/automata/dfa_interface.hpp>

automata/dfa_interface.hpp

头文件 febird/automata/dfa_interface.hpp 中主要包含以下 class：

DFA_Interface

这个类是最主要的 DFA 接口，对于应用程序，总是从 DFA_Interface::load_from(file) 加载一个自动机（adfa_build.exe 或 dawg_build.exe 生成的自动机文件），然后调用各种查找方法/成员函数。

• size_t for_each_suffix(prefix, on_suffix[, tr])
  • 该方法接受一个字符串prefix，如果prefix是自动机中某些字符串的前缀，则通过 on_suffix(nth,suffix) 回调，告诉应用程序，前缀是prefix的那些字符串的后缀（去除prefix之后的剩余部分），nth 是后缀集合中字符串的字典序。 tr 是一个可选参数，用来转换字符，例如全部转小写，将 ::tolower 传作 tr 即可
  • 例如：对字符串集合 {com,comp,comparable,comparation,compare,compile,compiler,computer}, prefix=com 能匹配所有字符串(其中nth=0的后缀是空串)，prefix=comp能匹配除com之外的所有其它字符串，此时nth=0的也是空串，而 compare 的后缀 are 对应的 nth=1
  • 返回值是后缀集合的尺寸，一般情况下没什么用处，可以忽略
• size_t match_key(delim,str,on_match[, tr])
  • 该方法用于实现 map2，delim 是 key,val 之间的分隔符(如 ‘\t’ )，key中不可包含delim，str 是扫描的文本，如果在扫描过程中，发现 str 的长度为 Kn 的前缀 P 匹配某个 key，就将该 key 对应的所有 value 通过 on_match(Kn,idx, value) 回调告诉调用方， idx是同一个key对应的value集合中当前value的字典序。
  • 返回值是最长的 部分匹配 的长度，一般情况下没什么用处，可以忽略

DAWG_Interface

这个类用来实现 map1，DAWG 的全称是 Directed Acyclic Word Graph，可以在 ADFA 的基础上，在匹配的同时，计算一个字符串在 ADFA 中的字典序号（如果存在的话），同时，也可以从字典序号计算出相应的字符串，时间复杂度都是O(strlen(word))。

• size_t index(string word)
  • 返回 word 的字典序，如果不存在，返回 size_t(-1)
• string nth_word(size_t nth)
  • 从字典序 nth 计算对应的 word，如果 nth 在 [0, n) 之内，一定能得到相应的 word，如果 nth 不在 [0, n) 之内，会抛出异常
• size_t v_match_words(string, on_match[, tr])
  • 依次对 string 的所有前缀计算 index，并通过 on_match(prelen,nth) 回调返回计算结果，prelen是匹配的前缀长度，该函数也有可选的 tr 参数
  • 返回值是最长的 部分匹配 的长度，一般情况下没什么用处，可以忽略
• size_t longest_prefix(string, size_t*len, size_t*nth[, tr])
  • 相当于 v_match_words 的特化版，只返回最长的那个 prefix
  • 返回值是最长的 部分匹配 的长度，一般情况下没什么用处，可以忽略

API使用方法的示例程序

对应于svn代码目录： febird-read-only/netbeans-cygwin/automata/samples

超级功能

以拼音输入法为例

为了保证输入效率，我们需要有一个从 词条拼音 到 词条汉字 的映射表，比如，拼音序列 ZiDongJi 对应的词条是 自动机 ， 自冻鸡 ；从而，逻辑上讲，这是一个 map<string,list<string> >。

假定我们有一个汉语词表，该词表的词条超过千万，每个词条可能是一句话（比如名言警句），并且，因为汉语中存在多音字，从而，包含多个多音字的词条都可能有很多种发音，这个数目在最坏情况下是指数级的，第一个字有 X₁ 个读音，第二个字有 X₂ 个读音，…，n 个字的词条就有 X₁*X₂*X₃*…*X_n 种读音。另外，除了多音字，还有简拼，对于短词来说，简拼的重码率很高，不实用，但是对于长词/句，简拼的重码率就很低了。

如果我们用 HashMap/std::unordered_map 或 TreeMap/std::map 保存这个注音词典，对于普通无多音字的词条，无任何问题。一旦有多音字， X₁*X₂*X₃*…*X_n 可能是一个非常大的数字，几十，几百，几千，几千万都有可能，这完全是不可接受的！一个折衷的办法就是仅选择概率最大的拼音，但很可惜，有些情况下这个拼音可能是错的！

用自动机解决该问题，最简单的方法就是用 string kv = X₁*X₂*X₃*…*X_n + ‘\t’ + 汉字词条 来逐个插入，动态 MinADFA 算法可以保证内存用量不会组合爆炸，但是，除了内存，还有时间，如此逐个展开，时间复杂度也是指数的！

这个问题我想了很久，终于有一天，想出了一个完美的解决办法：

1. 在 MinADFA 中加入一个功能：在线性时间内，给一个唯一的前缀，追加一个 ADFA后缀
   • 该 ADFA后缀 可以包含 X₁*X₂*X₃*…*X_n 个 word，并且结构还可以任意复杂（最近我的研究发现，该后缀甚至不必是ADFA，可以包含环！）
   • 这个算法是整个问题的关键，余下的，就只是简单的技巧而已
2. 将 string kv = X₁*X₂*X₃*…*X_n + ‘\t’ + 汉字词条 翻转
   • rev(X₁*X₂*X₃*…*X_n) 构成一个 ADFA
   • rev(‘\t’+汉字词条) 是一个唯一前缀
3. 将所有的词条做这样的处理，就构成一个 DFA({rev(拼音+’\t’+汉字)})
4. 将该 DFA 翻转，得到 NFA(rev(DFA({rev(拼音+’\t’+汉字)}))，再将该 NFA 转化成 DFA
5. 查找时，使用 map2 的方法（DFA_Interface::match_key），因为组合爆炸，不能用 map1

这个方法非常完美！虽然 NFA 转化 DFA 最差情况下是 NSpace(比NP还难) 的，但是在这里，可以证明，这个转化是线性的：O(n)。

 

【本文转自： http://url.cn/HybFTp ， 有删改增】